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1. Energie cinétique (due à la vitesse) : $${E = \frac{1}{2}}mv^{2}$$ <math>x = (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)</math>

@enduml

1. Energie potentielle gravifique (due à la hauteur) : $$E = \mathit{mgh}$$
2. Energie potentielle élastique due à la compression ou dilatation d’un ressort)$${E = \frac{1}{2}}ky^{2}$$

L’énergie totale mécanique d’un oscillateur harmonique est la somme des énergies cinétique et potentielle (gravifique pour un pendule simple et élastique pour un ressort horizontal).

Dans le cas où les frottements sont négligés, l’énergie totale reste constante (principe de conservation d’énergie).

Exprimons mathématiquement ce principe en répondant à la question :

En toute généralité, quelle est l’énergie totale d’un oscillateur harmonique  (que ce soit un pendule simple ou un pendule élastique) ?

Lorsqu’un oscillateur harmonique est à une position extrême (+A ou -A), l’énergie cinétique est nulle et l’énergie potentielle maximale (énergie potentielle gravifique pour un pendule simple et énergie potentielle élastique pour un ressort horizontal).

De même, pour un oscillateur harmonique (quel qu’il soit), lorsque la vitesse est maximale, l’énergie potentielle est nulle (énergie potentielle gravifique pour un pendule simple et énergie potentielle élastique pour un ressort horizontal). L’énergie totale de l’OH (E_T) est donc égale à$${E = \frac{1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}$$

Or nous savons que : $${E_{\text{totale}} = \frac{1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}$$ avec $${v_{\text{max}} = A}\omega$$. Donc

Or $$T$$ et ne varient pas au cours de l’oscillation, elles sont constantes.

Notons$${k = m}\omega^{2}$$ où k est une constante. On trouve$${E_{\text{totale}} = \frac{1}{2}}kA^{2}$$

qui est donc l’énergie totale d’un oscillateur harmonique.

1. Que représente k ?

L’énergie totale d’un oscillateur harmonique est :

Que représente physiquement cette constante k = m² ?

1. Evolution au cours du temps des énergies cinétique, potentielle et totale.

4.1. Variation de l’énergie cinétique

$${E_{c}(t{) = \frac{{\mathit{\text{mv}}(t)}^{2}}{2} = \frac{m^{}w^{2}A^{2}\mathit{\text{Cos}}^{2}({\mathit{wt} + j})}{2}}}{}$$

4.2 Variation de l’énergie potentielle

$${E_{p}(t{) = \frac{{\mathit{\text{ky}}(t)}^{2}}{2} = \frac{k^{}A^{2}\mathit{\text{Sin}}^{2}({\mathit{wt} + j})}{2}}}{}$$

4.3 L’énergie totale reste constante. Elle est égale à la somme des énergies cinétique et potentielle.

$${E_{T} = \mathit{\text{Cste}}}{}$$

Energie d’un oscillateur harmonique - Exercices

EXERCICE 1

Un pendule simple de longueur égale à 40 cm et d’une masse de 50 g est lâché lorsqu’il fait un angle de 10° avec la verticale.

1. Calculez son énergie potentielle maximale.

1. Calculez sa vitesse maximale.

1. Calculez sa vitesse à mi-hauteur.

1. Quelle est son énergie totale ?

Pour lancer une boule (masse 50 g) de « flipper », on comprime de 10 cm un ressort d’une constante de raideur égale à 200 N/m. Quelle sera la vitesse de la boule lorsqu’elle aborde le virage au bout d’une course rectiligne de 1,5 m après qu’elle ait quitté le ressort. Négligez tout frottement !

a)si le flipper est horizontal ?

b)s’il fait un angle de 5° avec l’horizontale ?

Une balle de 500g est lancée verticalement vers le haut sur un ressort de constante de raideur égale à 32 N/m et de masse négligeable. La vitesse de lancer de 2 m/s.

Le ressort se comprime de 12 cm lorsque la bille atteint sa hauteur maximale.

Quelle est la hauteur atteinte par la bille ?

EXERCICE 4

Un fusil de fléchettes comprend un ressort de raideur k = 250 N/m, de longueur à vide l0 = 12 cm et qui, comprimé par la fléchette de masse 25 g, ne mesure plus que l = 4,0 cm.

a) Avec quelle vitesse la fléchette sort-elle du fusil dans le cas d’un tir horizontal. Faire le calcul sans tenir compte du frottement entre fléchette et fusil.

b) Quelle altitude maximale peut-elle atteindre dans le cas d’un tir vertical ? Faire le calcul sans tenir compte du frottement entre fléchette et fusil ni de la résistance de l’air.

EXERCICE 5

La masse de 2 kg de la figure ci-contre est suspendue au plafond avec un ressort de masse négligeable et dont la constante de raideur vaut 200 N/m. Au départ, le ressort n’est pas étiré ni comprimé. On laisse alors tomber la masse sans la pousser. On aura alors un mouvement d’oscillation de la masse.

1. Quelle sera la distance parcourue par le ressort avant qu’il n’entame sa remontée verticale ?

1. Quelle sera la vitesse maximale du ressort ?

EXERCICE 6

Le pendule de la figure ci-contre est en mouvement harmonique et a une vitesse de 5 m/s quand il passe par sa position d’équilibre. Quelle est la vitesse du pendule lorsqu’il fait un angle de 10° par rapport à la verticale ?